Métodos numéricos Teoria y Ejercicios

Métodos Numéricos: Conceptos claves, teoría y programación en Python.

Contenido:

1.- Introducción

2.- Errores y Tipos de Errores

3.- Ecuaciones Lineales y no lineales

4.- Métodos de Resolución de ecuaciones

5.- Codigo en Python

1.- Introducción

¿Qué son los métodos numéricos?

Los métodos numéricos son técnicas matemáticas creadas para resolver problemas mediante aproximaciones sucesivas. A diferencia de los métodos analíticos que buscan soluciones exactas, los métodos numéricos operan con valores numéricos y utilizan algoritmos iterativos para converger hacia soluciones aceptables, no perdiendo de vista el error.

¿Qué es el error?

El error se refiere a la discrepancia entre el valor aproximado obtenido mediante un método numérico y el valor exacto o verdadero de la cantidad que se está calculando. La presencia de errores es inherente a los métodos numéricos debido a la necesidad de realizar aproximaciones y operaciones con números finitos en lugar de valores exactos. La comprensión y gestión adecuada de estos errores son fundamentales para evaluar la confiabilidad y la precisión de los resultados obtenidos.

2.- Tipos de Errores:

Error Absoluto (EA): Se define como la diferencia absoluta entre el valor verdadero y el valor aproximado.

Fórmula:

Error Relativo (ER): Mide la valor del error en relación con el valor verdadero y se expresa como un porcentaje.

Fórmula:

Error de Truncamiento:

Proviene de la aproximación de procesos matemáticos infinitos o de la limitación de la precisión de la representación numérica. Puede reducirse utilizando más términos en una serie o aumentando la precisión de los cálculos.

Error de Redondeo: Surge debido a la necesidad de representar números reales en un formato finito (como punto flotante) en la computadora. Puede mitigarse utilizando formatos de punto flotante más precisos o técnicas avanzadas de redondeo.

3.-Ecuaciones lineales y no lineales:

¿Cuáles es la diferencia entre ecuaciones lineales y no lineales?

Ecuación lineal: Una ecuación es lineal si cada término es un monomio de grado 1, es decir, no hay términos de orden superior.

Ecuación No lineal: Es no lineal si contiene al menos un término de grado superior a 1, como un término cuadrático, cúbico, etc.

Ejemplos de ecuaciones no lineales:

4.- Métodos de resoluciones de ecuaciones: Existen 2 grupos Cerrados y Abiertos.

4.1 Métodos Cerrados

Método grafico

Este método básicamente consiste en construir una tabla de valores en un intervalo, de la ecuación f(x)=0, y observar donde cruza el eje x la gráfica.

Método de Bisección

¿Qué es el método de bisección?

Es un método de corte binario, en otras palabras, se divide siempre a la mitad. Cuando la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

¿Cuáles son pasos para resolver método de bisección?

Son:

Paso 1.- Elegir valores iniciales a inferior y b superior que encierren a la raíz en un intervalo [a,b]. para verificar si tendrá convergencia evaluar f(a)*f(b)<0. Si cumple pasa al paso 2.

Paso 2.- Determinar la aproximación de la raíz buscado Xr con la siguiente formula. Luego pasar al paso 3.

Paso 3.- Para verificar si es o no la raíz debemos realizar las siguientes verificaciones:

a) Si f(a)*f(Xr)<0, significa que la raíz se encuentra dentro del subintervalo inferior [a,Xr]. Por lo tanto, hacer b=Xr y vuelva al paso 2.

b) Si f(a)*f(Xr) > 0, significa que la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior [Xr, b] Por lo tanto, haga a = Xr y vuelva al paso 2.

c) Si f(a)*f(Xr)=0, felicidades a encontrado la raíz. Termina el cálculo.

Extra: si queremos calcular el error porcentual aplicamos la siguiente formula:

Ejemplo:

Codigo en Python:

Método de falsa posición

¿Qué es el método de falsa posición?

Es un método alternativo al método de bisección, aumentando la eficiencia.

¿Cuáles son los pasos para poder resolver por el método de falsa posición?

Se utilizan los mismos pasos que en bisección con una diferencia de en el paso 2, la raíz aproximada se calcula con la siguiente formula: intervalo [a,b]

4.2 Métodos Abiertos

Estos tipos de métodos emplean una formula para poder predecir una raíz.

Método punto fijo

Para poder emplear este método la ecuación f(x)=0 se debe realizar una transformación, bastara realizar operaciones algebraicas para poder obtener x=g(x).

Ejemplo:

¿Cuáles son los pasos para poder resolver por el método punto fijo?

Paso 1.- Transformar la ecuación f(x)=0 en x=g(x)

Paso 2.- Escoger un valor Xo que cumpla la siguiente condición: 

Paso 3.- Realizar la iteración 

Método de Aitken

Acelera la rapidez de convergencia del método punto fijo.

Para poder resolver los problemas se siguen los mismos pasos que en punto fijo, a diferencia que las iteraciones se realizara con la siguiente formula:

Método de Newton-Raphson

Paso 1.- hacer f(x)=0

Paso 2.-  nos damos un valor Xo

Paso 3.- realizar las iteraciones con la siguiente formula

Nota: f’(x) es la primera derivada de la función.

5.- Códigos en Python